Código:
<script language="JavaScript">
var nVer = navigator.appVersion;
var nAgt = navigator.userAgent;
var browserName = navigator.appName;
var nameOffset,verOffset,ix;
var fullVersion = ''+parseFloat(navigator.appVersion);
if ((verOffset=nAgt.indexOf("MSIE"))!=-1) {
browserName = "Microsoft Internet Explorer";
}
else if ((verOffset=nAgt.indexOf("Opera"))!=-1) {
browserName = "Opera";
}
else if ((verOffset=nAgt.indexOf("Chrome"))!=-1) {
browserName = "Chrome";
}
else if ((verOffset=nAgt.indexOf("Safari"))!=-1) {
browserName = "Safari";
}
else if ((verOffset=nAgt.indexOf("Firefox"))!=-1) {
browserName = "Firefox";
}
// para otros navegadores busca el nombre al final del userAgent
else if ( (nameOffset=nAgt.lastIndexOf(' ')+1) < (verOffset=nAgt.lastIndexOf('/')) )
{
browserName = nAgt.substring(nameOffset,verOffset);
fullVersion = nAgt.substring(verOffset+1);
if (browserName.toLowerCase()==browserName.toUpperCase()) {
browserName = navigator.appName;
}
}
if ((ix=fullVersion.indexOf(";"))!=-1) fullVersion=fullVersion.substring(0,ix);
if ((ix=fullVersion.indexOf(" "))!=-1) fullVersion=fullVersion.substring(0,ix);
document.write('navigator.appName : '+navigator.appName+'<br>');
document.write('Navegador : '+browserName+'<br>');
document.write('Versión : '+fullVersion+'<br>');
document.write('Tu navegador es : '+browserName+' '+fullVersion+'<br>');
</script>
Explicación: Lo que hace este código es Buscar mediante IndexOf la existencia del nombre del explorador en la variable navigator.userAgent, tambien corta la variable navigator.appVersion ya que viene con otra información.
Importante: Para tu web puedes quitar los 3 primeros document.write, ya que estos son solo para que compares aquí y veas las variables.
Este código lo puedes pegar donde quieras que aparezca la información y listo solucionado el problema del nombre del navegador.